- μέγιστα και ελάχιστα
- Έστω μια πραγματική συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα υποσύνολο I του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ένας πραγματικός αριθμός m θα λέμε ότι είναι το ολικό μέγιστο ή αντίστοιχα το ολικό ελάχιστο της f, αν και μόνον αν για κάθε x∈Ι ισχυει: f(x) ≤ m, αντίστοιχα: f(x) ≥ m. Έστω x0 ένα σημείο του I και έστω ότι υπάρχει μια περιοχή (x0 – ε, x0 + ε) του x0 τέτοια, ώστε να ισχύει (x0 – ε, x0 + ε) ⊂ I και f(x) – f(x0) ≤ 0 για κάθε σημείο x της περιοχής (x0– ε, x0 + ε). Τότε, λέγεται πως η τιμή f(x0) της f είναι ένα τοπικό μέγιστο είτε απλά ένα μ. της f. Με τις ίδιες υποθέσεις όπως πριν, αλλά με f(x) – f(x0) ≥ 0 για κάθε x της περιοχής (x0 –ε, x0 + ε) προκύπτει ότι η τιμή f(x0) είναι ένα τοπικό ελάχιστο είτε απλά ένα ελάχιστο της f. Τα μ. και ελάχιστα μιας συνάρτησης f, όπως παραπάνω (ολικά είτε τοπικά), ονομάζονται κοινά ως ακρότατα της f. Οι προηγούμενοι ορισμοί για τα ακρότατα διατυπώνονται και για πραγματικές συναρτήσεις, οι οποίες ορίζονται σε χώρους γενικότερους από τον χώρο R των πραγματικών αριθμών, όπως για τους χώρους R2 (συναρτήσεις δύο μεταβλητών) R3 (συναρτήσεις τριών μεταβλητών). Για μια ορισμένη κλάση πραγματικών συναρτήσεων, τα ακρότατα τους υπολογίζονται με μεθόδους του απειροστικού λογισμού. Στην περίπτωση μιας πραγματικής συνάρτησης f, ορισμένης σε ένα υποσύνολο (έστω) I του συνόλουτων πραγματικών αριθμών. Έστω ότι υπάρχει η παράγωγος f’ της συνάρτησης f και ότι ένας αριθμός x0 του συνόλου I είναι ρίζα της f. Δηλαδή,ισχύει f(x0) = 0. Αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει μια περιοχή (x0 – ε, x0 + ε) του σημείου x0 με (x0 – ε, x0+ε) ⊂ I, τέτοια ώστε να ισχύει f’(x) > 0 για κάθε x του ανοιχτού διαστήματος (x0 – ε, x0) και f’(x) < 0 για κάθε x του ανοιχτού διαστήματος (x0, x0 + ε), τότε η τιμή f(x0) είναι (τοπικό) μ. της f. Αν ισχύει f’(x) < 0 για κάθε x του ανοιχτού διαστήματος (x0 – ε, x0) και f’(x) > 0 για κάθε x του ανοιχτού διαστήματος (x0, x0 + ε), τότε η τιμή f(x0) είναι (τοπικό) ελάχιστο της f. Σε περίπτωση που υπάρχει και η δευτέρα παράγωγος, f”, της f, ο έλεγχος του αν στο σημείο x0 η f έχει μ. ή ελάχιστο γίνεται ως εξής: αν f”(x0) < 0, τότε η τιμή f(x0) είναι ένα τοπικό μ., ενώ αν f”(x0) > 0, τότε η τιμή f(x0) είναι ένα τοπικό ελάχιστο. Δεν αποκλείεται, όμως η τιμή f(x0) να είναι ένα ακρότατο της f και να ισχύει f”(x0) = 0. Σε αυτήν την περίπτωση χρειάζεται περαιτέρω έλεγχος. (Για μια λεπτομερή έκθεση όλων των σχετικών με τα μ. και ελάχιστα των πραγματικών συναρτήσεων, ο ενδιαφερόμενος για περισσότερες γνώσεις οφείλει να καταφύγει σε βιβλία απειροστικού λογισμού). Πρέπει να σημειωθεί επίσης ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, έστω Cf σε ένα ορθογώνιο σύστημα αναφοράς, αν η τιμή f(x0) είναι ένα ακρότατο της f, όπως θεωρήθηκε προηγουμένως, τότε υπάρχει εφαπτομένη της Cf στο σημείο (x0, f(x0)) και είναι παράλληλος του άξονα των x. Δεν αποκλείεται, όμως, μια τιμή f(x0) να αποτελεί ακρότατο μιας συνάρτησης f και στο σημείο (x0, f(x0)) να μην υπάρχει εφαπτομένη της Cf, είτε να υπάρχει εφαπτομένη και να μην ορίζεται η παράγωγος της f για x = x0. Στα προηγούμενα έγινε λόγος για τα τοπικά ακρότατα πραγματικής συνάρτησης μιας μεταβλητής, που παίρνει τις τιμές της σε έναν ορισμένο χώρο (R, R2, R3 κλπ.). Ένα πιο γενικό πρόβλημα ακρότατων είναι και το εξής: υπάρχει μία γνωστή συνάρτηση (έστω f) μιας άγνωστης συνάρτησης έστω φ (και οι δύο πραγματικές) και επιθυμείται ο ορισμός της συνάρτησης φ κατά τέτοιον τρόπο, ώστε η f να γίνεται μεγίστη. Μια ιδέα ενός τέτοιου προβλήματος δίνει το εξής πρόβλημα του ισοπεριμέτρου, το οποίο εξετάζεται στον λεγόμενο λογισμό των μεταβολών: από όλες τις ομαλές κλειστές καμπύλες του επιπέδου με το αυτό μήκος, ποια είναι εκείνη, της οποίας το εμβαδόν του μέρους του επιπέδου που περικλείει είναι το μέγιστο δυνατό; (απάντηση: η περιφέρεια του κύκλου).
Dictionary of Greek. 2013.
